上海沪教版数学五年级下册知识点与练习题
上海沪教版数学五年级下册知识点与练习题
本文全面梳理上海沪教版数学五年级下册所有单元知识点，每个知识点配有练习题与详细解答，帮助同学们系统复习和巩固。
第一单元：小数的乘除法（巩固）
知识点一：小数乘法复习与深化
核心规则：
- 先按整数相乘，再确定小数点位置。
- 积的小数位数 = 两个因数的小数位数之和。
- 末尾有0时要化简（去掉末尾多余的0）。
示例：
- 0.25 × 0.4 → 先算 25 × 4 = 100，两因数共3位小数 → 0.100 = 0.1
- 1.2 × 0.05 → 先算 12 × 5 = 60，两因数共3位小数 → 0.060 = 0.06
知识点二：小数除法
被除数不够商1补0：
- 当被除数（整数部分）小于除数时，商的整数部分写0，然后在小数点后继续除。
- 不够除时在余数后面补0继续除。
示例： 0.36 ÷ 4
- 0除以4不够商1，商整数部分为0
- 36÷4=9，但要注意小数点位置 → 0.36 ÷ 4 = 0.09
除数是小数先转整数：
- 把除数变成整数（小数点向右移），被除数同步移动相同位数。
- 然后按整数除法计算。
示例： 7.2 ÷ 0.6
- 除数0.6小数点右移1位变6，被除数7.2同移变72
- 72 ÷ 6 = 12
知识点三：循环小数识别与写法
定义： 从小数部分的某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的小数叫做循环小数。
- 循环节： 不断重复出现的那个（组）数字。
- 写法： 在第一个循环节的首位和末位数字上面各点一个圆点。
- 例如 1.333… 写作 1.3̇（3上面加点）
- 例如 0.142857142857… 写作 0.1̇4285̇7̇（循环节首末加点）
- 纯循环小数：小数部分全部循环，如 0.333…
- 混循环小数：小数部分先有不循环部分再循环，如 0.1666…
知识点四：运算规律
| 运算律 | 公式 | 举例 |
|---|---|---|
| 乘法交换律 | a × b = b × a | 2.5 × 0.4 = 0.4 × 2.5 |
| 乘法结合律 | (a × b) × c = a × (b × c) | (0.25 × 0.5) × 4 = 0.25 × (0.5 × 4) |
| 乘法分配律 | a × (b + c) = a×b + a×c | 3.6 × 101 = 3.6 × 100 + 3.6 × 1 |
简便计算常见技巧：
- 凑整法：0.25 × 4 = 1，0.125 × 8 = 1
- 分配律拆分或合并
📝 练习题
题1： 计算 2.4 × 0.15
解答： 先算 24 × 15 = 360，两因数共3位小数 → 0.360 = 0.36
题2： 计算 5.6 ÷ 0.07
解答： 除数0.07右移2位变7，被除数5.6右移2位变560。560 ÷ 7 = 80
题3： 用简便方法计算 7.8 × 99 + 7.8
解答： 7.8 × 99 + 7.8 = 7.8 × 99 + 7.8 × 1（乘法分配律） = 7.8 × (99 + 1) = 7.8 × 100 = 780
第二单元：分数的意义与运算
知识点一：分数基本概念
- 单位”1”： 可以是一个物体、一个图形、一个整体等，把它平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫做分数。
- 分数单位： 把单位”1”平均分成若干份，其中一份就是分数单位。如 3/5 的分数单位是 1/5。
- 真分数： 分子 < 分母，值小于1。如 2/3。
- 假分数： 分子 ≥ 分母，值 ≥ 1。如 5/3、4/4。
- 带分数： 整数部分 + 真分数部分。如 1⅔。
知识点二：分数与除法的关系
\[被除数 \div 除数 = \frac{被除数}{除数}\]- 例如：3 ÷ 5 = 3/5
- 分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。
- 除数不能为0，所以分母不能为0。
知识点三：分数基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以一个不为零的数，分数的大小不变。
- 约分：分子分母同除以它们的最大公因数。
- 通分：找最小公倍数统一分母。
示例： 12/18 约分 → 12÷6/18÷6 = 2/3
知识点四：分数和小数互化
分数化小数： 分子 ÷ 分母
- 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75
- 1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333…
小数化分数： 看小数位数
- 0.6 = 6/10 = 3/5
- 0.25 = 25/100 = 1/4
知识点五：同分母加减法
分母不变，分子相加减，结果要化成最简分数。
\[\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}\]示例： 2/7 + 3/7 = 5/7
知识点六：异分母通分加减法
先通分（找最小公倍数），再按同分母加减法计算。
示例： 1/3 + 1/4
- 最小公倍数为12
- 1/3 = 4/12，1/4 = 3/12
- 4/12 + 3/12 = 7/12
知识点七：分数乘法
\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\]- 能约分的先约分再乘，计算更简便。
- 分数乘整数：整数与分母约分后，整数×分子作分子，分母不变。
示例： 2/3 × 3/5 = (2×3)/(3×5) = 6/15 = 2/5（先约分更简便：2/3 × 3/5 = 2/5）
知识点八：分数除法
\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}\]除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。
示例： 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1⅞
知识点九：分数大小比较
方法一：通分法 —— 化成同分母后比分子大小。
方法二：交叉相乘法 —— 比较 a/b 和 c/d：
- 若 a×d > b×c，则 a/b > c/d
- 若 a×d = b×c，则 a/b = c/d
- 若 a×d < b×c，则 a/b < c/d
示例： 比较 3/5 和 2/3
- 交叉相乘：3×3=9，5×2=10
- 9 < 10 → 3/5 < 2/3
📝 练习题
题1： 计算 3/8 + 5/12
解答： 8和12的最小公倍数是24 3/8 = 9/24，5/12 = 10/24 9/24 + 10/24 = 19/24
题2： 计算 5/6 × 3/10
解答： 先约分：5和10约去5得1和2，3和6约去3得1和2 = (1×1)/(2×2) = 1/4
题3： 计算 7/9 ÷ 14/27
解答： 7/9 ÷ 14/27 = 7/9 × 27/14 7和14约去7得1和2，27和9约去9得3和1 = (1×3)/(1×2) = 3/2 = 1½
题4： 比较 5/8 和 7/11 的大小
解答： 交叉相乘：5×11=55，8×7=56 55 < 56 所以 5/8 < 7/11
第三单元：方程（二）
知识点一：多步方程解法
解题步骤：
- 去括号（如果有）
- 移项：含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（移项变号）
- 合并同类项
- 系数化为1
示例： 解方程 3x + 5 = 2x + 12
- 移项：3x - 2x = 12 - 5
- 合并：x = 7
含括号示例： 解方程 2(x + 3) = 14
- 去括号：2x + 6 = 14
- 移项：2x = 14 - 6 = 8
- x = 4
知识点二：列方程解决实际问题
解题策略：
- 找等量关系（关键句翻译成等式）
- 设未知数（一般设所求为x）
- 列方程
- 解方程
- 检验并作答
常见题型：
| 题型 | 等量关系 |
|---|---|
| 和差问题 | 大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差 |
| 面积问题 | 长 × 宽 = 面积 |
| 相向问题 | 甲走路程 + 乙走路程 = 总距离 |
| 追及问题 | 快走路程 - 慢走路程 = 相差距离 |
知识点三：方程验证
将解代入原方程，看等号两边是否相等。
示例： 验证 x=4 是否为 2(x+3)=14 的解
- 左边 = 2×(4+3) = 2×7 = 14
- 右边 = 14
- 左边 = 右边 ✓，所以 x=4 是方程的解。
📝 练习题
题1： 解方程 4x - 7 = 2x + 9
解答： 4x - 2x = 9 + 7 2x = 16 x = 8
验证：左边=4×8-7=25，右边=2×8+9=25 ✓
题2： 甲乙两地相距240千米，两辆汽车从两地同时相向出发，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。几小时后两车相遇？
解答： 设 x 小时后相遇。 等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 240 50x + 30x = 240 80x = 240 x = 3 3小时后两车相遇。
题3： 一个长方形的周长是 36 厘米，长是宽的 2 倍。求长方形的长和宽。
解答： 设宽为 x 厘米，则长为 2x 厘米。 周长 = 2 ×（长 + 宽）= 36 2(2x + x) = 36 2 × 3x = 36 6x = 36 x = 6 长 = 2 × 6 = 12 宽 = 6厘米，长 = 12厘米。
第四单元：正数和负数
知识点一：正数、负数、零的概念
- 正数： 大于0的数，如 +3、5、0.7、2/3。可以省略正号”+”。
- 负数： 小于0的数，如 -2、-0.5、-1/4。负号”-“不能省略。
- 零（0）： 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线。
实际意义举例：
- 零上5℃ → +5℃；零下3℃ → -3℃
- 收入200元 → +200；支出150元 → -150
- 海拔8848米 → +8848；海拔-154米 → 低于海平面154米
知识点二：数轴
三要素：
- 原点： 数轴上表示0的点。
- 正方向： 通常向右为正方向（箭头方向）。
- 单位长度： 相邻两个整数点之间的距离。
←——|——|——|——|——|——|——|——→
-3 -2 -1 0 1 2 3
知识点三：正负数大小比较
规则：
- 正数 > 0 > 负数
- 两个正数比较：数值大的大。
- 两个负数比较：绝对值大的反而小。如 -2 > -5。
- 数轴上右边的数总比左边的数大。
知识点四：实际应用
| 场景 | 正数表示 | 负数表示 |
|---|---|---|
| 温度 | 零上 | 零下 |
| 海拔 | 高于海平面 | 低于海平面 |
| 收支 | 收入 | 支出 |
| 楼层 | 地上 | 地下 |
| 方向 | 东/北 | 西/南 |
📝 练习题
题1： 把下列各数填入适当的集合中：-3.5、7、0、-1/2、+12、-100、0.8
解答：
- 正数集合：{7, +12, 0.8}
- 负数集合：{-3.5, -1/2, -100}
- 既不是正数也不是负数：{0}
题2： 在数轴上，-4、2、-1、0、3 这五个数，从小到大排列。
解答： 在数轴上从左到右：-4 < -1 < 0 < 2 < 3 排列结果：-4 < -1 < 0 < 2 < 3
题3： 某天上海的最高气温是5℃，最低气温是-2℃。这天的温差是多少？
解答： 温差 = 最高气温 - 最低气温 = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7℃
第五单元：体积与表面积
知识点一：体积概念与单位
- 体积： 物体所占空间的大小。
- 常用单位：立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³）
知识点二：体积单位进率
| 单位换算 | 进率 |
|---|---|
| 1立方米 = 1000立方分米 | 相邻进率1000 |
| 1立方分米 = 1000立方厘米 | 相邻进率1000 |
| 1立方米 = 1000000立方厘米 |
体积单位相邻之间的进率是1000（区别于面积单位进率100和长度单位进率10）。
知识点三：长方体体积
\[V_{长方体} = 长 \times 宽 \times 高 = abh\]- 也可以写成：V = 底面积 × 高 = S底 × h
示例： 长5cm，宽3cm，高4cm → V = 5×3×4 = 60 cm³
知识点四：正方体体积
\[V_{正方体} = 棱长 \times 棱长 \times 棱长 = a^3\]示例： 棱长4cm → V = 4³ = 64 cm³
知识点五：长方体表面积
\[S_{长方体} = 2(长 \times 宽 + 长 \times 高 + 宽 \times 高) = 2(ab + ah + bh)\]示例： 长5cm，宽3cm，高4cm
- S = 2×(5×3 + 5×4 + 3×4) = 2×(15+20+12) = 2×47 = 94 cm²
知识点六：正方体表面积
\[S_{正方体} = 6 \times 棱长^2 = 6a^2\]示例： 棱长4cm → S = 6×4² = 6×16 = 96 cm²
知识点七：容积单位
| 换算关系 | |
|---|---|
| 1升(L) = 1000毫升(mL) | |
| 1升(L) = 1立方分米(dm³) | |
| 1毫升(mL) = 1立方厘米(cm³) |
- 容积是指容器内部空间的大小，测量时用容器内部的长、宽、高计算。
知识点八：组合体体积
计算方法：
- 分割法： 把不规则体分成几个规则体，分别算体积再相加。
- 补全法： 把缺角的图形补全成完整体，用完整体积减去补上部分的体积。
📝 练习题
题1： 一个长方体水箱，内部长50厘米，宽30厘米，高40厘米。这个水箱的容积是多少升？
解答： V = 50 × 30 × 40 = 60000 cm³ 60000 cm³ = 60000 mL = 60 L 水箱的容积是60升。
题2： 一个正方体的棱长是6分米，求它的体积和表面积。
解答： 体积 = 6³ = 216 dm³ = 216立方分米 表面积 = 6 × 6² = 6 × 36 = 216平方分米
题3： 把3.5立方米换算成立方分米。
解答： 1立方米 = 1000立方分米 3.5立方米 = 3.5 × 1000 = 3500立方分米
题4： 一个长方体的长8厘米、宽5厘米、高3厘米，如果把它切成两个小长方体（沿宽切一刀），表面积一共增加多少？
解答： 切一刀增加2个截面，每个截面的面积 = 宽 × 高 = 5 × 3 = 15 cm² 表面积增加 = 2 × 15 = 30平方厘米
第六单元：可能性与统计
知识点一：”一定”“不可能”“可能”描述事件
- 确定事件：
- “一定”发生 → 必然事件。如：太阳从东方升起。
- “不可能”发生 → 不可能事件。如：人一天长高10米。
- 不确定事件：
- “可能”发生 → 随机事件。如：明天下雨。
知识点二：树状图/枚举法统计所有可能结果
树状图法： 从起点出发，每一步分叉出所有可能，最终到达终点即为一种结果。
枚举法（列举法）： 有序、不重复、不遗漏地把所有可能的结果一一列出。
示例： 同时抛2枚硬币，所有可能结果：
- （正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）共4种。
知识点三：条形图、折线图绘制与分析
| 统计图 | 特点 | 适用 |
|---|---|---|
| 条形图 | 用条的长短表示数量多少 | 比较各类数据的多少 |
| 折线图 | 用线段的升降表示变化 | 反映数据变化趋势 |
绘制注意：
- 标题、横轴名称、纵轴名称、单位
- 纵轴刻度均匀
- 折线图需描点、连线
知识点四：平均数计算
\[平均数 = \frac{所有数据之和}{数据个数}\]注意：
- 平均数会受极端值影响。
- 平均数不一定是数据中的某个值。
示例： 5次考试成绩为 85、90、78、92、95
- 平均数 = (85+90+78+92+95) ÷ 5 = 440 ÷ 5 = 88
📝 练习题
题1： 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机摸一个球。判断下列事件：
- ① 摸出红球 → ？
- ② 摸出黑球 → ？
- ③ 摸出红球或白球 → ？
解答： ① 摸出红球 → 可能（随机事件） ② 摸出黑球 → 不可能（袋中没有黑球） ③ 摸出红球或白球 → 一定（只有这两种颜色）
题2： 小明5天的零花钱分别是：2元、3元、5元、4元、6元。求平均每天的零花钱。
解答： 平均数 = (2+3+5+4+6) ÷ 5 = 20 ÷ 5 = 4元
题3： 同时掷两个骰子，用树状图列出点数之和为7的所有情况。
解答： 第一个骰子和第二个骰子点数组合中，和为7的有：
- (1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1) 共 6种 情况。 两个骰子所有可能组合共36种，所以和为7的概率 = 6/36 = 1/6。
总结
| 单元 | 核心内容 |
|---|---|
| 第一单元 | 小数乘除法规则、循环小数、运算律 |
| 第二单元 | 分数意义、加减乘除运算、大小比较 |
| 第三单元 | 多步方程、列方程解实际问题 |
| 第四单元 | 正负数概念、数轴、大小比较 |
| 第五单元 | 长方体/正方体体积与表面积、容积 |
| 第六单元 | 事件可能性、统计图、平均数 |
💡 学习建议： 每个单元学完后，先理解概念再做题，注意审题中的关键字，列方程时先找等量关系，计算时注意单位换算。