上海沪教版数学五年级上册知识点与练习题

本文系统整理了上海沪教版小学数学五年级上册的全部知识点，按单元分类，每个知识点配有练习题及详细答案，适合学生课后复习和家长辅导使用。

第一单元：数的整除

一、因数与倍数

核心概念：

在整数除法中，如果 a ÷ b = c（a、b、c都是整数，且b ≠ 0），那么：

b是a的因数，c也是a的因数
a是b的倍数，a也是c的倍数

示例： 18 ÷ 3 = 6

3是18的因数，6也是18的因数
18是3的倍数，18也是6的倍数

注意： 因数和倍数是相互依存的关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数。

二、找因数的方法

方法： 从1开始，用1、2、3、4……依次去除该数，能整除的就是它的因数。一对一对地找，找到两个因数相遇或相等时停止。

示例： 找24的所有因数：

24 ÷ 1 = 24 → 1和24
24 ÷ 2 = 12 → 2和12
24 ÷ 3 = 8 → 3和8
24 ÷ 4 = 6 → 4和6
24 ÷ 5 不能整除
接下来6已经出现过，停止

24的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

因数的特征：

一个数的因数的个数是有限的
最小的因数是1，最大的因数是它本身

三、找倍数的方法

方法： 用该数依次乘以1、2、3、4……

示例： 找3的倍数：

3 × 1 = 3, 3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12, ……

3的倍数有：3, 6, 9, 12, 15, 18, ……

倍数的特征：

一个数的倍数的个数是无限的
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数

四、整除特征（判断能被2、5、3整除）

能被2整除的数（偶数）：

特征：个位上是0、2、4、6、8的数
个位是0、2、4、6、8的数都是偶数
不能被2整除的数是奇数（个位是1、3、5、7、9）

能被5整除的数：

特征：个位上是0或5的数

能被3整除的数：

特征：各位上数字的和能被3整除
示例：判断123能否被3整除 → 1 + 2 + 3 = 6，6 ÷ 3 = 2，能整除 ✓

同时能被2和5整除的数： 个位是0

同时能被2、5和3整除的数： 个位是0，且各位数字之和能被3整除

示例：120 → 个位是0（能被2和5整除），1+2+0=3（能被3整除）✓

五、素数（质数）与合数

类型	定义	因数个数	举例
素数（质数）	只有1和它本身两个因数	2个	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…
合数	除了1和它本身，还有其他因数	3个及以上	4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15…
1	既不是素数也不是合数	1个	1

特别注意：

2是最小的素数，也是唯一的偶数素数
4是最小的合数
1既不是素数，也不是合数

100以内的素数（共25个）： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

六、分解质因数

定义： 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

方法一：短除法

所以 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3

方法二：树状分解法

所以 24 = 2 × 2 × 2 × 3

分解步骤：

先用最小的质数（2）去除
如果不能被2整除，再试3、5、7……
一直除到商为1为止

更多示例：

36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5

✏️ 练习题

第1题： 写出36的所有因数，并找出其中的素数。

答案： 36的所有因数：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 其中的素数：2, 3

第2题： 判断下列各数能被2、3、5中的哪些数整除。

答案：

135： 个位是5，能被5整除；1+3+5=9，能被3整除；个位是5（奇数），不能被2整除。→ 能被3和5整除

240： 个位是0，能被2和5整除；2+4+0=6，能被3整除。→ 能被2、3和5整除

72： 个位是2，能被2整除；7+2=9，能被3整除；个位不是0或5，不能被5整除。→ 能被2和3整除

第3题： 判断题（正确打”√”，错误打”×”）。

（1）所有的偶数都是合数。
（2）两个素数的和一定是偶数。
（3）1是最小的自然数。

答案：

（1）×（2是偶数但它是素数，不是合数）

（2）×（如 2 + 3 = 5，是奇数；但3 + 5 = 8是偶数。因为2是偶数素数，所以不一定）

（3）×（0是最小的自然数，不是1）

第4题： 用短除法分解质因数：90

答案：
    2 | 90
    3 | 45
    3 | 15
    5 |  5
         1
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5

第二单元：小数乘除法

一、小数乘法

计算法则：

先按照整数乘法的方法计算（忽略小数点）
再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点
如果积的小数位数不够，需要在前面用”0”补位

小数位数规则： 积的小数位数 = 两个因数的小数位数之和

示例：

2.5 × 0.3：先算 25 × 3 = 75，小数位数 1 + 1 = 2 位，所以 2.5 × 0.3 = 0.75
0.12 × 0.5：先算 12 × 5 = 60，小数位数 2 + 1 = 3 位，所以 0.12 × 0.5 = 0.060 = 0.06

二、小数乘法的规律

乘数的大小	积与被乘数的关系
乘数 > 1	积 > 被乘数（积变大）
乘数 = 1	积 = 被乘数（不变）
乘数 < 1（且 > 0）	积 < 被乘数（积变小）

示例：

3.6 × 1.5 = 5.4 > 3.6（乘以大于1的数，积变大）
3.6 × 0.5 = 1.8 < 3.6（乘以小于1的数，积变小）

三、小数除法

除数是整数的小数除法：

按照整数除法的方法去除
商的小数点要和被除数的小数点对齐
被除数的整数部分不够除，商的整数部分写”0”
除到被除数的末尾还有余数，就添”0”继续除

除数是小数的除法（利用商不变性质）：

把除数转化为整数（小数点向右移动几位）
被除数的小数点也向右移动相同位数
然后按除数是整数的方法计算

商不变性质： 被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外），商不变。

示例：

7.56 ÷ 0.6 → 转化为 75.6 ÷ 6 = 12.6
0.432 ÷ 0.18 → 转化为 43.2 ÷ 18 = 2.4

四、循环小数

定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

循环节： 循环小数中依次不断重复出现的数字，叫做循环小数的循环节。

表示方法：

用省略号表示：0.333… 或 1.2525…
用圆点标记循环节：
- 一个数字循环：在这个数字上面加一个点，如 0.3̇ 表示 0.333…
- 多个数字循环：在循环节的首尾数字上各加一个点，如 0.1̇2̇ 表示 0.1212…

分类：

纯循环小数： 循环节从小数点后第一位开始，如 0.333…
混循环小数： 循环节不从小数点后第一位开始，如 0.1666…

五、四舍五入法、进一法、去尾法

方法	适用场景	规则
四舍五入法	一般求近似值	看保留位数的下一位，≥5进1，<5舍去
进一法	不能取近似值，必须取整（如需要几辆车）	不管尾数是多少，都向前一位进1
去尾法	不能取近似值，只能取整数部分（如能做几件衣服）	不管尾数是多少，都直接舍去

示例：

52名同学去春游，每辆车坐8人。52 ÷ 8 = 6.5（辆），用进一法，需要7辆车
一块布长25米，做一件衣服用3米。25 ÷ 3 = 8.33…（件），用去尾法，最多做8件

六、小数的简便运算

整数的运算定律同样适用于小数：

运算定律	小数示例
加法交换律	3.6 + 4.8 = 4.8 + 3.6
加法结合律	2.5 + 3.7 + 0.5 = (2.5 + 0.5) + 3.7
乘法交换律	1.25 × 8 = 8 × 1.25
乘法结合律	1.25 × 2.5 × 8 × 4 = (1.25 × 8) × (2.5 × 4)
乘法分配律	3.6 × 101 = 3.6 × 100 + 3.6 × 1

常用简便数对：

0.25 × 4 = 1
1.25 × 8 = 10
0.5 × 2 = 1
2.5 × 4 = 10

✏️ 练习题

第1题： 计算：3.06 × 2.5

答案： 先算 306 × 25 = 7650 小数位数：2 + 1 = 3位所以 3.06 × 2.5 = 7.650 = 7.65

第2题： 计算：5.46 ÷ 0.42

答案： 利用商不变性质，除数和被除数同时扩大100倍： 5.46 ÷ 0.42 = 546 ÷ 42 = 13

第3题： 用简便方法计算：7.8 × 9.9 + 7.8 × 0.1

答案： 7.8 × 9.9 + 7.8 × 0.1 = 7.8 × (9.9 + 0.1)　　（乘法分配律逆运用） = 7.8 × 10 = 78

第4题： 有一块布长50米，做一套儿童装用2.3米，最多能做多少套？还剩多少米？

答案： 50 ÷ 2.3 = 21.739… 用去尾法，最多能做 21（套） 剩余布料：50 - 2.3 × 21 = 50 - 48.3 = 1.7（米）

第三单元：平均数与统计

一、平均数

核心公式：

平均数 = 总和 ÷ 个数
总和 = 平均数 × 个数
个数 = 总和 ÷ 平均数

平均数的意义：

平均数是一组数据的代表值，反映了这组数据的整体水平
平均数在最大值和最小值之间
每个数据对平均数都有影响

注意事项：

平均数不一定是这组数据中的某个数
总数量 ÷ 总份数 = 平均数（不能简单地把平均数相加再除以2）

二、步测

核心公式：

步幅 = 距离 ÷ 步数
距离 = 步幅 × 步数

步测方法：

先在已知距离的路段上走几次，数出步数
计算平均步幅 = 已知距离 ÷ 平均步数
再走未知距离的路段，数出步数
未知距离 = 平均步幅 × 步数

三、统计方法与计算

求加权平均数： 当各组数据的重要性（权重）不同时，需要用加权平均数。

公式： 加权平均数 = (各数据 × 对应权重之和) ÷ 权重总和

✏️ 练习题

第1题： 小明5次数学测验成绩分别是：85分、92分、78分、96分、89分。他的平均成绩是多少分？

答案： 平均成绩 = (85 + 92 + 78 + 96 + 89) ÷ 5 = 440 ÷ 5 = 88（分）

第2题： 小红在100米的路段上走了3次，步数分别是：150步、148步、152步。

（1）她的平均步幅是多少？
（2）如果她从家走到学校走了1200步，家到学校大约有多远？

答案： （1）平均步数 = (150 + 148 + 152) ÷ 3 = 450 ÷ 3 = 150（步）平均步幅 = 100 ÷ 150 ≈ 0.67（米）（保留两位小数）

（2）距离 = 步幅 × 步数 = 0.67 × 1200 ≈ 804（米） 家到学校大约804米（约0.8千米）。

第3题： 一个篮球队5名队员的身高分别是：185cm、190cm、188cm、192cm、195cm。后来又加入一名身高198cm的队员。

（1）原来5人的平均身高是多少？
（2）加入新队员后，6人的平均身高是多少？平均身高增加了多少？

答案： （1）原来5人平均身高 = (185 + 190 + 188 + 192 + 195) ÷ 5 = 950 ÷ 5 = 190（cm）

（2）6人平均身高 = (950 + 198) ÷ 6 = 1148 ÷ 6 ≈ 191.3（cm）（保留一位小数）平均身高增加了：191.3 - 190 = 1.3（cm）

第四单元：简易方程

一、用字母表示数

核心知识点：

字母可以表示任何数
- 用 a 表示正方形的边长，则周长 = 4a，面积 = a²
字母表示数的书写规则：
- 数字与字母相乘，省略乘号，数字写在字母前面：2 × a = 2a
- 字母与字母相乘，省略乘号：a × b = ab
- 1与字母相乘，省略”1”：1 × a = a
- a × a = a²，读作”a的平方”，表示两个a相乘
- a + a = 2a，表示2个a的和
- 注意区别： 2a ≠ a²（当a=3时，2a=6，a²=9）
用字母表示运算定律：
- 加法交换律：a + b = b + a
- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 乘法交换律：a × b = b × a → ab = ba
- 乘法结合律：(ab)c = a(bc)
- 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac
用字母表示数量关系和公式：
- 路程 = 速度 × 时间 → s = vt
- 长方形面积 = 长 × 宽 → S = ab
- 正方形面积 = 边长² → S = a²

二、方程的定义

方程： 含有未知数的等式叫做方程。

两个条件缺一不可：

必须是等式（含有等号”=”）
必须含有未知数

判断示例：

3x + 5 = 20 → 是方程 ✓（含未知数x，是等式）
2 + 3 = 5 → 不是方程 ✗（没有未知数）
5x + 3 > 10 → 不是方程 ✗（不是等式，是不等式）
x + y → 不是方程 ✗（不是等式）

方程与等式的关系： 方程一定是等式，但等式不一定是方程。

三、等式的基本性质

性质一： 等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c

性质二： 等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

如果 a = b，那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）

四、解方程的步骤

核心思路： 利用等式的基本性质，把未知数”孤立”出来。

基本类型及解法：

类型1：x + a = b

两边同时减去a：x = b - a

类型2：x - a = b

两边同时加上a：x = b + a

类型3：ax = b

两边同时除以a：x = b ÷ a

类型4：x ÷ a = b

两边同时乘以a：x = b × a

类型5：ax + b = c（两步方程）

先两边减去b：ax = c - b
再两边除以a：x = (c - b) ÷ a

解方程的完整书写格式：

解方程：3x + 5 = 20
   解：3x + 5 - 5 = 20 - 5
       3x = 15
       3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
       x = 5

五、检验方程的解

检验步骤：

把求得的未知数的值代入原方程的左边
计算左边的值
看左边是否等于右边

示例： 验证 3x + 5 = 20 的解 x = 5

检验：把 x = 5 代入方程左边
     左边 = 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20
     右边 = 20
     左边 = 右边
     所以 x = 5 是方程的解。

六、列方程解决实际问题

步骤：

审题： 弄清题意，找出已知量和未知量
设未知数： 用x表示要求的量（或中间量）
找等量关系： 根据题意找出数量之间的等量关系
列方程： 根据等量关系列出方程
解方程： 求出未知数的值
检验并作答： 检验解是否正确，写出完整答案

✏️ 练习题

第1题： 解方程：5x - 12 = 28

答案：
解：5x - 12 + 12 = 28 + 12
    5x = 40
    5x ÷ 5 = 40 ÷ 5
    x = 8
检验：5 × 8 - 12 = 40 - 12 = 28 ✓ x = 8

第2题： 解方程：2(x + 3) = 16

答案：
解：2(x + 3) ÷ 2 = 16 ÷ 2
    x + 3 = 8
    x + 3 - 3 = 8 - 3
    x = 5
检验：2 × (5 + 3) = 2 × 8 = 16 ✓ x = 5

第3题： 果园里苹果树比梨树多30棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？

答案： 设梨树有 x 棵，则苹果树有 3x 棵。等量关系：苹果树 - 梨树 = 30
列方程：3x - x = 30
    解：2x = 30
        x = 15
梨树：x = 15（棵）

苹果树：3x = 3 × 15 = 45（棵）

检验：45 - 15 = 30 ✓，45 = 15 × 3 ✓

第五单元：多边形的面积

一、长方形和正方形的面积（复习）

图形	面积公式	周长公式
长方形	S = a × b（长 × 宽）	C = 2(a + b)
正方形	S = a²（边长 × 边长）	C = 4a

二、平行四边形的面积

公式推导： 沿平行四边形的高剪开，平移后拼成一个长方形。

长方形的长 = 平行四边形的底
长方形的宽 = 平行四边形的高

面积公式：S = 底 × 高 = ah

注意：

底和高必须是对应的（底边上的高）
平行四边形有两组底和高，用哪组底就用对应的高

三、三角形的面积

公式推导： 用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

平行四边形的底 = 三角形的底
平行四边形的高 = 三角形的高
三角形面积 = 平行四边形面积 ÷ 2

面积公式：S = 底 × 高 ÷ 2 = ah/2

注意：

底和高必须是对应的
三角形有三组底和高
不要忘记”÷ 2”

四、梯形的面积

公式推导： 用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底
平行四边形的高 = 梯形的高
梯形面积 = 平行四边形面积 ÷ 2

面积公式：S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (a + b)h/2

各部分名称：

上底（a）： 较短的平行边
下底（b）： 较长的平行边
高（h）： 两底之间的垂直距离

五、组合图形的面积

方法一：分割法 把组合图形分割成几个基本图形，分别计算面积再相加。

方法二：补充法（添补法） 把组合图形补充成一个大的基本图形，用大图形面积减去多出的部分。

解题步骤：

观察图形，确定分割或补充方案
标出各个基本图形的尺寸
分别计算各部分面积
合计总面积

六、面积的规律

重要结论：

等底等高的平行四边形面积相等
等底等高的三角形面积相等
等底等高的三角形面积 = 平行四边形面积的一半

✏️ 练习题

第1题： 一个平行四边形的底是12厘米，高是8厘米，面积是多少？如果底不变，高增加2厘米，面积增加多少？

答案：

原来面积 = 12 × 8 = 96（平方厘米）

新面积 = 12 × (8 + 2) = 12 × 10 = 120（平方厘米）

面积增加了：120 - 96 = 24（平方厘米）

也可以直接算：面积增加 = 12 × 2 = 24（平方厘米）

第2题： 一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，高是多少厘米？

答案： 由 S = 底 × 高 ÷ 2 得：高 = S × 2 ÷ 底 = 36 × 2 ÷ 9 = 72 ÷ 9 = 8（厘米）

第3题： 一块梯形菜地，上底20米，下底36米，高15米。

（1）这块菜地的面积是多少平方米？
（2）如果每平方米收蔬菜8千克，这块菜地共收蔬菜多少千克？

答案： （1）面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 = (20 + 36) × 15 ÷ 2 = 56 × 15 ÷ 2 = 840 ÷ 2 = 420（平方米）

（2）蔬菜总量 = 420 × 8 = 3360（千克）

第4题： 一个组合图形由一个长方形和一个三角形组成。长方形长10厘米、宽6厘米；三角形的底就是长方形的宽（6厘米），三角形的高是4厘米。求这个组合图形的总面积。

答案：

长方形面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米）

三角形面积 = 6 × 4 ÷ 2 = 12（平方厘米）

组合图形总面积 = 60 + 12 = 72（平方厘米）

第六单元：整理与应用

一、生活中的应用

水电费计算：

应缴水费 = 用水量 × 单价
应缴电费 = 用电量 × 单价
可以用方程来解决已知总费用求用量的问题

编码问题：

邮政编码、身份证号码等都用数字编码表示特定信息
理解每一位数字代表的含义

二、列方程解决购物找零问题

典型题型：

已知总金额和找回的钱，求买了多少件商品
已知单价和数量的关系，列方程求解

示例： 小明带了50元去买笔记本，每本8元，买了几本后还剩18元。

设买了x本：

8x + 18 = 50
8x = 32
x = 4

答：买了4本。

✏️ 练习题

第1题： 王阿姨家这个月用电180度，每度电0.61元，还要加上一笔8元的服务费。这个月的电费一共多少元？

答案： 电费 = 180 × 0.61 + 8 = 109.8 + 8 = 117.8（元）

第2题： 小华带了100元去文具店，买了3支钢笔后还剩下31元。每支钢笔多少元？（列方程解答）

答案： 设每支钢笔 x 元。
等量关系：总金额 - 花费 = 剩余
列方程：100 - 3x = 31
    解：3x = 100 - 31
        3x = 69
         x = 23
检验：100 - 3 × 23 = 100 - 69 = 31 ✓ 答：每支钢笔 23元。

本文涵盖了上海沪教版五年级上册数学的全部知识点，希望能帮助同学们系统复习，取得好成绩！