上海沪教版数学六年级下册知识点与练习题

本文全面梳理上海沪教版数学六年级下册所有单元知识点，每个知识点配有练习题与详细解答，帮助同学们系统复习和巩固。六年级下册是小学阶段最后一学期，内容涉及小升初衔接，非常重要。

第一单元：比与比例

知识点一：比的意义

• 比： 两个数相除又叫做两个数的比。记作 a:b，读作”a比b”。
• 前项： 比号前面的数（a）。
• 后项： 比号后面的数（b），后项不能为0。
• 比值： 前项 ÷ 后项 = a÷b，比值通常用分数、小数或整数表示。

示例： 6:4 的比值 = 6÷4 = 3/2 = 1.5

知识点二：比的基本性质

比的前项和后项同时乘或除以一个不为零的数，比值不变。

这与分数基本性质和除法性质一致：

• a:b = (a×k):(b×k)
• a:b = (a÷k):(b÷k)

知识点三：最简整数比化简

最简整数比： 前项和后项都是整数，且互质（最大公因数为1）。

化简方法：

1. 整数比： 前后项同除以最大公因数。如 12:8 = 3:2
2. 分数比： 前后项同乘分母的最小公倍数。如 1/3:1/4 → 同乘12 → 4:3
3. 小数比： 先化成整数再化简。如 0.6:0.9 → 6:9 → 2:3

知识点四：比例意义

• 比例： 表示两个比相等的式子。如 2:3 = 4:6。
• 比例的四个项： 两个外项和两个内项。
  • 在 a:b = c:d 中，a和d是外项，b和c是内项。
• 比例基本性质：外项积 = 内项积。即 a×d = b×c。

应用： 判断两个比能否组成比例 → 看外项积是否等于内项积。

示例： 2:5 和 6:15 能否组成比例？

• 2×15 = 30，5×6 = 30
• 外项积=内项积 → 能组成比例：2:5 = 6:15 ✓

知识点五：比例尺

• 数值比例尺： 如 1:10000，表示图上1厘米代表实际10000厘米=100米。
• 线段比例尺： 用线段图表示。

三个公式互推：

• 图上距离 = 实际距离 × 比例尺
• 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺

知识点六：按比例分配

将一个量按照一定的比分成几部分。

解题步骤：

1. 求总份数
2. 各部分占总数的几分之几
3. 分别求各部分的量

示例： 把120个苹果按 2:3 分给甲和乙。

• 总份数 = 2+3 = 5
• 甲 = 120 × 2/5 = 48个
• 乙 = 120 × 3/5 = 72个

知识点七：三项比

• 表示三个量之间的关系，如 a:b:c = 2:3:5。
• 三项比不能直接求比值，但可以按比例分配。

示例： 甲、乙、丙的身高比是 3:4:5，他们的平均身高是 160cm。求各人身高。

• 总份数 = 3+4+5 = 12
• 三人身高总和 = 160 × 3 = 480cm
• 甲 = 480 × 3/12 = 120cm
• 乙 = 480 × 4/12 = 160cm
• 丙 = 480 × 5/12 = 200cm

📝 练习题

题1： 化简比 0.75:1.25

解答： 0.75:1.25 → 同乘100 → 75:125 → 同除25 → 3:5

题2： 一幅地图的比例尺是 1:500000，图上两地距离为 8 厘米。求两地实际距离。

解答： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 = 8 ÷ (1/500000) = 8 × 500000 = 4000000厘米 = 40000米 = 40千米

题3： 一个三角形三条边的比是 3:4:5，周长是 48 厘米。求三条边各多长。

解答： 总份数 = 3+4+5 = 12 第一条边 = 48 × 3/12 = 12厘米 第二条边 = 48 × 4/12 = 16厘米 第三条边 = 48 × 5/12 = 20厘米

题4： 判断 6:9 和 10:15 能否组成比例？

解答： 外项积 = 6 × 15 = 90 内项积 = 9 × 10 = 90 外项积 = 内项积 能组成比例：6:9 = 10:15 ✓

第二单元：百分数的应用

知识点一：百分数意义与转换

• 百分数： 表示一个数是另一个数的百分之几的数。如 45%。
• 百分数只表示两个数之间的倍比关系，不能带单位名称。

转换方法：

知识点二：百分数应用——增长率

• 增长量 = 原量 × 增长率
• 现量 = 原量 ×（1 + 增长率）
• 减少后量 = 原量 ×（1 - 减少率）

示例： 某商品原价200元，涨价20%，现价多少？

• 现价 = 200 × (1+20%) = 200 × 1.2 = 240元

知识点三：利息

• 本金： 存入银行的钱。
• 利率： 利息与本金的比率（一般指年利率）。
• 时间： 存款期限。
• 本息和 = 本金 + 利息

示例： 存入5000元，年利率2%，存3年。

• 利息 = 5000 × 2% × 3 = 5000 × 0.02 × 3 = 300元
• 本息和 = 5000 + 300 = 5300元

知识点四：折扣

• “打七折” = 按原价的70%出售 = 原价 × 0.7
• “打八五折” = 按原价的85%出售 = 原价 × 0.85
• “打几折” = 按原价的百分之几十出售

求原价： 现价 ÷ 折扣率

知识点五：盈利率

售价 = 成本 ×（1 + 盈利率）

📝 练习题

题1： 一件衣服原价400元，打七五折后多少钱？

解答： 400 × 75% = 400 × 0.75 = 300元

题2： 某校去年有学生1200人，今年比去年增加了5%。今年有多少人？

解答： 今年人数 = 1200 × (1+5%) = 1200 × 1.05 = 1260人

题3： 小明的妈妈在银行存了20000元，年利率为2.5%，定期存2年。到期后可以拿到多少利息？本息和是多少？

解答： 利息 = 20000 × 2.5% × 2 = 20000 × 0.025 × 2 = 1000元 本息和 = 20000 + 1000 = 21000元

题4： 一个商人以80元的成本买入一件商品，以25%的盈利率出售。售价是多少？

解答： 售价 = 成本 × (1+盈利率) = 80 × (1+25%) = 80 × 1.25 = 100元

第三单元：圆

知识点一：圆的基本概念

• 圆心（O）： 圆的中心点。
• 半径（r）： 从圆心到圆上任一点的线段。同一圆内所有半径相等。
• 直径（d）： 通过圆心且两端在圆上的线段。d = 2r。
• 圆周率（π）： 圆的周长与直径的比值，π ≈ 3.14（计算时常取3.14）。
• 圆是轴对称图形，有无数条对称轴（每条直径所在直线都是对称轴）。

知识点二：周长

示例： 半径 5cm 的圆周长

• C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm

知识点三：面积

示例： 半径 5cm 的圆面积

• S = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5cm²

已知直径求面积： 先求半径 r = d/2，再用公式。

已知周长求面积： 先求半径 r = C/(2π)，再用公式。

知识点四：弧长

其中 n 是圆心角的度数。

示例： 半径 6cm，圆心角 60° 的弧长

• 弧长 = 2 × 3.14 × 6 × 60/360 = 37.68 × 1/6 = 6.28cm

知识点五：扇形面积

示例： 半径 6cm，圆心角 90° 的扇形面积

• S = 3.14 × 6² × 90/360 = 3.14 × 36 × 1/4 = 113.04 × 0.25 = 28.26cm²

知识点六：实际应用

车轮滚动距离：

• 车轮滚动一周，前进的距离 = 车轮的周长
• 滚动 n 周的距离 = n × 周长

圆形花坛、水池面积： 已知直径或周长 → 求半径 → 求面积

📝 练习题

题1： 一个圆的直径是14厘米，求它的周长和面积。

解答： r = 14 ÷ 2 = 7厘米 周长 C = 2 × 3.14 × 7 = 43.96厘米 面积 S = 3.14 × 7² = 3.14 × 49 = 153.86平方厘米

题2： 一个车轮的半径是30厘米，车轮滚动100圈，前进了多少米？

解答： 周长 C = 2 × 3.14 × 30 = 188.4厘米 100圈的距离 = 188.4 × 100 = 18840厘米 = 188.4米

题3： 一块扇形铁皮，半径10厘米，圆心角72°。求扇形的弧长和面积。

解答： 弧长 = 2 × 3.14 × 10 × 72/360 = 62.8 × 0.2 = 12.56厘米 面积 = 3.14 × 10² × 72/360 = 314 × 0.2 = 62.8平方厘米

题4： 一个圆形花坛的周长是 25.12 米，求花坛的面积。

解答： r = C ÷ (2π) = 25.12 ÷ (2×3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4米 S = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24平方米

第四单元：数据与概率

知识点一：统计表、条形图、扇形图

扇形图特点：

• 圆表示总体（100%）。
• 各扇形面积表示各部分占总体的百分比。
• 所有百分比之和 = 100%。

知识点二：平均数、中位数、众数

示例： 数据 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10

• 平均数 = (2+3+5+5+7+8+10) ÷ 7 = 40 ÷ 7 ≈ 5.71
• 中位数 = 5（第4个数，中间位置）
• 众数 = 5（出现2次，最多）

知识点三：概率

• 概率范围：0 ≤ P ≤ 1
• 必然事件概率 = 1
• 不可能事件概率 = 0
• 随机事件概率在0和1之间

📝 练习题

题1： 一组数据：12, 15, 18, 15, 20, 15, 25。求平均数、中位数和众数。

解答： 排序：12, 15, 15, 15, 18, 20, 25 平均数 = (12+15+15+15+18+20+25) ÷ 7 = 120 ÷ 7 ≈ 17.14 中位数 = 第4个数 = 15（共7个数，中间是第4个） 众数 = 15（出现3次，最多）

题2： 一个箱子里有2个红球、3个蓝球、5个白球。随机取一个球，取到蓝球的概率是多少？

解答： 球的总数 = 2+3+5 = 10 取到蓝球的概率 = 3/10 = 0.3 = 30%

题3： 某班同学的爱好统计如下：喜欢运动的占40%，喜欢音乐的占25%，喜欢阅读的占20%，喜欢其他的占15%。如果全班有60人，各爱好人数分别是多少？

解答： 运动：60 × 40% = 24人 音乐：60 × 25% = 15人 阅读：60 × 20% = 12人 其他：60 × 15% = 9人 验证：24+15+12+9 = 60 ✓

第五单元：有理数和数轴

知识点一：有理数

• 有理数 = 整数 + 分数（可以表示为两个整数之比的数）
• 有理数可以是正数、负数或零。

分类：

有理数 ┬─ 正有理数（正整数、正分数）
       ├─ 零
       └─ 负有理数（负整数、负分数）

知识点二：相反数与绝对值

相反数：

• 如果两个数只有符号不同，它们互为相反数。
• a 的相反数是 -a。
• 0的相反数是0。

绝对值：

• 一个数在数轴上对应的点到原点的距离。

• 记作

  a

  。

• a

  = a（当 a ≥ 0）；

  a

  = -a（当 a < 0）

示例：

• 5

  = 5，

  -5

  = 5

• 0

  = 0

• -3/4

  = 3/4

知识点三：有理数大小比较

规则：

1. 正数 > 0 > 负数
2. 两个正数比大小看数值
3. 两个负数比大小：绝对值大的反而小
4. 数轴上右边的数总比左边的大

示例：

• -3 和 -7：

  -3

  =3 <

  -7

  =7，所以 -3 > -7

• -0.5 和 -1/3：

  -0.5

  =0.5 >

  -1/3

  ≈0.33，所以 -0.5 < -1/3

知识点四：有理数加减乘除法则

加法法则：

• 同号相加：取相同符号，绝对值相加。如 (-3)+(-5) = -(3+5) = -8
• 异号相加：取绝对值较大的符号，绝对值相减。如 (-7)+4 = -(7-4) = -3
• 一个数加0等于它本身。

减法法则：

• 减去一个数等于加上它的相反数：a-b = a+(-b)

乘法法则：

• 同号得正，异号得负，绝对值相乘。
• 任何数乘0得0。

除法法则：

• 同号得正，异号得负，绝对值相除。
• 除以一个数等于乘这个数的倒数。
• 0除以任何非零数等于0，0不能作除数。

📝 练习题

题1： 计算 (-8) + 5 + (-3) + 2

解答： = [(-8)+(-3)] + (5+2)（正数一组，负数一组） = (-11) + 7 = -4

题2： 计算 (-6) × (-4) ÷ (-3)

解答： (-6) × (-4) = +24（同号得正） 24 ÷ (-3) = -8（异号得负） = -8

解答： 先化简：|-1.5| = 1.5，-(-2) = 2 各数为：-2.5、1/3、0、-3、1.5、2 从小到大：-3 < -2.5 < 0 < 1/3 < 1.5 < 2

第六单元：整式的加减

知识点一：单项式

• 单项式： 由数与字母的乘积组成的代数式（包括单独一个数或字母）。
• 系数： 单项式中的数字因数。如 -3x²y 的系数是 -3。
• 次数： 单项式中所有字母指数之和。如 -3x²y 的次数是 2+1=3。
• 特别：常数的次数为0（如5的次数是0）。

示例： | 单项式 | 系数 | 次数 | |——–|——|——| | 5x³ | 5 | 3 | | -2ab² | -2 | 3 | | y | 1 | 1 | | -7 | -7 | 0 |

知识点二：多项式

• 多项式： 几个单项式的和。每个单项式叫做多项式的项。
• 常数项： 不含字母的项。
• 多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数。

示例： 3x² - 2x + 5

• 项：3x²、-2x、5
• 常数项：5
• 多项式次数：2（最高次项 3x² 的次数）

整式 = 单项式 + 多项式

知识点三：同类项与合并同类项

同类项条件（两个同时满足）：

1. 字母相同
2. 相同字母的指数也相同

示例： 3x²y 和 -5x²y 是同类项；3x²y 和 3xy² 不是同类项。

合并同类项法则：

系数相加减，字母和指数不变。

示例： 3x² + 5x² = (3+5)x² = 8x²

示例： 4ab - 7ab + 2ab = (4-7+2)ab = -ab

知识点四：去括号

法则：

• 括号前是”+”号（正号）：去掉括号，括号内各项符号不变。
  • +(a-b+c) = a-b+c
• 括号前是”-“号（负号）：去掉括号，括号内各项符号全部改变。
  • -(a-b+c) = -a+b-c

知识点五：表达式化简

步骤：

1. 去括号
2. 合并同类项

示例： 化简 3(2x-1) - 2(x+4)

• 去括号：6x - 3 - 2x - 8
• 合并同类项：(6x-2x) + (-3-8) = 4x - 11

📝 练习题

题1： 合并同类项：5a²b - 3ab² + 2a²b + ab²

解答： = (5a²b + 2a²b) + (-3ab² + ab²) = 7a²b + (-2ab²) = 7a²b - 2ab²

题2： 化简 4(x+2y) - 3(2x-y)

解答： = 4x + 8y - 6x + 3y（去括号） = (4x-6x) + (8y+3y)（合并同类项） = -2x + 11y

题3： 当 a=2, b=-1 时，求代数式 3a² - 2ab + b² 的值。

解答： = 3×(2)² - 2×(2)×(-1) + (-1)² = 3×4 - 2×(-2) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17

第七单元：方程与不等式

知识点一：一元一次方程

标准形式： ax + b = 0（a ≠ 0）

特征：

• 只含有一个未知数
• 未知数的最高次数为1
• 是等式（有等号）

知识点二：解法

基本步骤：

1. 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）
2. 去括号（分配律展开）
3. 移项（含未知数的移到左边，常数移到右边，移项变号）
4. 合并同类项
5. 系数化为1（方程两边同除以未知数的系数）

示例： 解方程 3(x-2) + 1 = 2(x+1)

• 去括号：3x - 6 + 1 = 2x + 2
• 化简：3x - 5 = 2x + 2
• 移项：3x - 2x = 2 + 5
• 合并：x = 7

含分数示例： 解方程 (x+1)/2 - (x-1)/3 = 1

• 去分母（两边乘6）：3(x+1) - 2(x-1) = 6
• 去括号：3x + 3 - 2x + 2 = 6
• 合并：x + 5 = 6
• x = 1

知识点三：列方程解实际问题

常见题型与等量关系：

解题步骤：

1. 审题，找等量关系
2. 设未知数
3. 列方程
4. 解方程
5. 检验并作答

知识点四：一次不等式

定义： 含有未知数且用不等号（>、<、≥、≤）连接的式子。

解法与方程类似，但有一条重要区别：

不等式两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向要改变。

示例： 解不等式 -2x > 6

• 两边除以-2（负数！），不等号变向：
• x < -3

解集表示： 通常用数轴表示。

📝 练习题

题1： 解方程 5(x-1) = 3(x+1)

解答： 5x - 5 = 3x + 3 5x - 3x = 3 + 5 2x = 8 x = 4

验证：左边=5×(4-1)=15，右边=3×(4+1)=15 ✓

题2： 解方程 (2x-1)/3 = (x+2)/2

解答： 两边乘6（去分母）：2(2x-1) = 3(x+2) 4x - 2 = 3x + 6 4x - 3x = 6 + 2 x = 8

验证：左边=(16-1)/3=15/3=5，右边=(8+2)/2=10/2=5 ✓

题3： 一家服装店搞促销，一件外套打八折后比原价便宜了60元。外套的原价是多少？

解答： 设原价 x 元。 打八折后价格 = 0.8x 便宜的金额 = x - 0.8x = 0.2x 0.2x = 60 x = 300 外套原价300元。

题4： 解不等式 3x - 7 ≤ 2x + 1，并在数轴上表示解集。

解答： 3x - 2x ≤ 1 + 7 x ≤ 8 解集：x ≤ 8

数轴表示：从8（含8，实心点）向左画箭头。

←————●
      8

第八单元：立体几何初步

知识点一：圆柱体积

• 底面是圆，底面积 = πr²
• r 是底面半径，h 是高

示例： 底面半径 3cm，高 10cm 的圆柱

• V = 3.14 × 3² × 10 = 3.14 × 9 × 10 = 282.6cm³

知识点二：圆锥体积

• 圆锥体积 = 等底等高圆柱体积的 1/3

示例： 底面半径 3cm，高 10cm 的圆锥

• V = 1/3 × 3.14 × 3² × 10 = 1/3 × 282.6 = 94.2cm³

知识点三：圆柱表面积

• 两个底面面积： 2πr²
• 侧面积： 2πrh（侧面展开是一个长方形，长=底面周长=2πr，宽=高=h）

示例： 底面半径 3cm，高 10cm 的圆柱

• 底面积 = 2 × 3.14 × 9 = 56.52cm²
• 侧面积 = 2 × 3.14 × 3 × 10 = 188.4cm²
• 表面积 = 56.52 + 188.4 = 244.92cm²

知识点四：展开图与空间想象

圆柱展开图：

• 两个底面 → 两个相同的圆
• 侧面 → 一个长方形（长=2πr，宽=h）

圆锥展开图：

• 底面 → 一个圆
• 侧面 → 一个扇形（半径=母线长）

常见空间想象题：

• 长方形绕一条边旋转 → 圆柱
• 直角三角形绕一条直角边旋转 → 圆锥
• 半圆绕直径旋转 → 球

📝 练习题

题1： 一个圆柱形水桶，底面直径20厘米，高30厘米。求水桶的容积（π取3.14）。

解答： r = 20 ÷ 2 = 10厘米 V = πr²h = 3.14 × 10² × 30 = 3.14 × 100 × 30 = 9420cm³ 9420cm³ = 9420mL = 9.42升

题2： 一个圆锥形沙堆，底面半径2米，高1.5米。这堆沙的体积是多少？

解答： V = 1/3 × πr²h = 1/3 × 3.14 × 2² × 1.5 = 1/3 × 3.14 × 4 × 1.5 = 1/3 × 18.84 = 6.28立方米

题3： 做一个无盖圆柱形铁桶，底面半径10厘米，高25厘米。至少需要多少平方厘米的铁皮？

解答： 无盖 → 只有一个底面 + 侧面 一个底面积 = πr² = 3.14 × 10² = 314cm² 侧面积 = 2πrh = 2 × 3.14 × 10 × 25 = 1570cm² 所需铁皮 = 314 + 1570 = 1884平方厘米

总结

💡 学习建议： 六年级下册内容多且与初中衔接紧密。有理数运算和整式加减是初中代数的基础，务必反复练习。圆和立体图形公式要熟记并理解推导。方程和不等式注意移项变号和乘除负数变向的规则。